0.999999为什么等于1?数学上存在不能被构造的数字

因为1/3=0.333….

1/3×3=0.333…×3

所以1=0.999…

0.999999为什么等于1?数学上存在不能被构造的数字

0.999…等于1的证明似乎是正确的,但并不符合我们的认知,它应该是错误的,那么问题出在哪里?

数学系统中存在不能被构造的数字

我们确信0.999…和π一样是存在的,它是一个无限循环小数。但不可思议的是,0.999…是不能被构造的数字,确切的说,在十进制数学系统下,不会生成0.999…这样的数。

证明之前,需要明确一点,0.999…等于1只会出现在十进制数学系统中,在二进制中就是0.111…等于1。首先定义整数q,且q>1,表示q进制。现在构造任意一个正数x,根据阿基米德公理,存在x的上限和下限:0.999999为什么等于1?数学上存在不能被构造的数字

p是整数,αp是自然数

其中,αp是1、2…q-1 中的一个数,也就是x的第一位数。通过等比数列求和,可以得到:

0.999999为什么等于1?数学上存在不能被构造的数字

最终可以得到不等式:

0.999999为什么等于1?数学上存在不能被构造的数字

其中

0.999999为什么等于1?数学上存在不能被构造的数字

如此一来,x的任意一位数都可以确定了。我们发现如果将某一位以后的数都假设为q-1,即αp-n=q-1,最后可以有不等式:0.999999为什么等于1?数学上存在不能被构造的数字

k是小于n的任意整数

对于给定的正数,选取合适的n,可以使得不等式不成立。这意味着从十进制的运算机制来看,不会出现0.999…,在二进制中,同样不会出现0.111…这样的数。

脑洞延伸:哥德巴赫猜想是不是数学中存在却无法证明的问题?

0.999999为什么等于1?数学上存在不能被构造的数字

哥德巴赫猜想:任一大于2的偶数都可写成两个素数之和

0.999…必然是存在的,那么为什么无法在十进制系统中构造呢?实际上,构造就意味着证明它的存在,然而任一数学系统中必然存在无法证明或证伪的问题,这是哥德尔不完备性定理的限制。例如,平行公理是欧几里得几何系统中无法证明或证伪的命题,但它必然是正确的。在广义的几何中,平行公理的真实作用是区分非欧几何和欧氏几何。

平行公理:给定一条直线,通过此直线外的任何一点,有且只有一条直线与之平行。

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哥德尔不完备性定理:任何含有初等数论的形式系统内必然存在既不能证明也不能证伪的命题

哥德巴赫猜想虽然已经被证明了“1+2”,但是最后一步始终未解,它可不可能是“哥德尔不完备性定理”的产物,即自然数系统中不可证明亦不可证伪的命题?若答案是肯定的,则意味着它是对的,我们无法证明它,换言之,只有通过重新定义自然数系统,才能彻底证明哥德巴赫猜想。

你不得不相信,在这个世界上,有的东西是存在的,但你永远都找不到。即便是严谨的数学,也存在不能证明的命题。